Question

如图，三棱锥P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

2=

AC

2=4

AB

2，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，从而PA⊥AB，AB⊥PC，进而AM⊥PC，由此能证明PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵三棱锥P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

2=

AC

2=4

AB

2，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC，
∵M为棱PC的中点，∴AM⊥PC，
又AM∩AB=A，∴PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设PA=AC=2AB=2，则C（2，0，0），P（0，0，2），
B（0，1，0），A（0，0，0），

PC

=（2，0，-2），

PB

=（0，1，-2），
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

PC • n =2x-2z=0 PB • n =y-2z=0

，
取z=1，得

n

=（1，2，1），
又平面PBA的法向量

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
∴二面角C-PB-A的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．