Question

已知函数f（x）=x-1-alnx，
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＜0，对任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，
（Ⅱ）将问题转化为x²-ax-4≤0在x∈（0，1]时恒成立，而函数y=x-

4

x

在区间（0，1]上是增函数，所以y=x-

4

x

的最大值为-3，从而求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f'（x）＞0解得x＞a；由f'（x）＜0解得0＜x＜a，
此时，函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；f（x）在（0，a）上是减函数．
（Ⅱ）当a≤0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，
又函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数，不妨设0＜x₁＜x₂≤1，
则|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1)，|

1

x1

-

1

x2

|=

1

x1

-

1

x2

，
所以|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|等价于f(x2)-f(x1)＜

4

x1

-

4

x2

，
即f(x2)+

4

x2

＜f(x1)+

4

x1

．
设h(x)=f(x)+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数．
于是h′(x)=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

≤0即x²-ax-4≤0在x∈（0，1]时恒成立，
从而a≥x-

4

x

在x∈（0，1]上恒成立，
而函数y=x-

4

x

在区间（0，1]上是增函数，所以y=x-

4

x

的最大值为-3．
于是a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，考查转化思想，是一道综合题．