Question

已知函数f（x）=

1

x-m

，若存在α∈（0，

π

2

），使f（sinα）+f（cosα）=0，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用f（sinα）+f（cosα）=0，可得2m=sinα+cosα，利用辅助角公式化简，结合角的范围，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（sinα）+f（cosα）=0，
∴

1

sinα-m

=-

1

cosα-m

，
∴sinα-m=m-cosα，
即2m=sinα+cosα
则2m=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α∈（0，

π

2

），
∴α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，
∴2m∈（1，

2

]，
∴m∈（

1

2

，

2

2

]
故答案为：（

1

2

，

2

2

]

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，正确运用辅助角公式是关键．