Question

已知双曲线

x2

6

-

y2

2

=1上任一点M（x₀，y₀），设M关于x轴对称点为M₁，双曲线的左右顶点分别为A₁，A₂．
（Ⅰ）求直线A₁M与直线A₁M₁的交点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设点F（-2，0），T为直线x=-3上任意一点，过F作直线l⊥TF交（I）中轨迹C于P、Q两点，①证明：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）：②当

|TF|

|PQ|

最小时，求点T的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）求出A₁（-

6

，0），A₂（

6

，0），点M（x₀，y₀），联立直线A₁M方程y=

y0

x0+ 6

（x+

6

），
线A₂M₁的方程是y=

-y0

x0- 6

（x-

6

），

x 2 0

6

-

y 2 0

2

=1，化简即可得出轨迹方程．
（2）联立方程组

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，即（m²+3）y²-4my-2=0，根据韦达定理求出中点坐标的，在求出斜率，即可判断：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）
②根据题意得出

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

，再根据不等式求解得出最小值，判断出等号成立的条件．即可得出T点的坐标．

解答： 解：（1）双曲线的左右顶点分别为A₁（-

6

，0），A₂（

6

，0），点M（x₀，y₀），
设M关于x轴对称点为M₁（x₀，-y₀）
直线A₁M方程是y=

y0

x0+ 6

（x+

6

），①
线A₂M₁的方程是y=

-y0

x0- 6

（x-

6

），②

x 2 0

6

-

y 2 0

2

=1，③
所以3个方程化简得交点P的轨迹C的方程：

x2

6

+

y2

2

=1

（2）（2）①F₁（-2，0），T为（-3，m），
直线PQ方程：x=my-2，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，
即（m²+3）y²-4my-2=0，
△=16m²+8（m²+3）＞0，
∵y₁+y₂=

4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=-

12

m2+3

，
∵线段PQ中点M（-

6

M2+3

，

2m

m2+3

），
k_OM=-

m

3

∵T（-3，m），k_0T=-

m

3

，
∴OT经过线段PQ中点M
②|TF|=

m2+1

，|PQ|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

24 (m2+1)

m2+3

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

≥

3

3

，
当且仅当m²+1=

4

m2+1

，m=±1，等号成立．
此时

|TF|

|PQ|

最小，T（-3，1）或T（-3，-1）

点评：本题综合考察了直线，抛物线，双曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，结合韦达定理，不等式，难度较大．