Question

已知函数f（x）满足f（x）=2f（

1

x

），当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx，若在区间（0，e²）内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  2

  e2

  ，

  1

  e

  ）
• B、（

  2

  e2

  ，

  1

  2e

  ）
• C、（0，

  1

  e

  ）
• D、（0，

  1

  2e

  ）

Answer 1

考点：函数的周期性,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：可以根据函数f（x）满足f（x）=2f（

1

x

），求出x在（0，1]上的解析式，已知在区间（0，e²）内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围．

解答： 解：在区间[1，e²）内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
①a＞0若x∈[1，e²）时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）为增函数，
此时g（x）必须在[1，e²）上有两个交点，
∴

g( 1 a )＞0 g(e2)＜0 g(1)≤0

，解得，

2

e2

＜a＜

1

e

①
设0＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，
∴f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

，此时g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-

2+ax

x

，
若g′（x）＞0，可得x＜-

2

a

＜0，g（x）为增函数
若g′（x）＜0，可得x＞-

2

a

，g（x）为减函数，
在（0，1）上有一个交点，则

lim x→0 g(x)＞0 g(1)＜0

，解得a＞0②
综上①②可得

2

e2

＜a＜

1

e

，
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间（0，e²）内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
③a=0，显然只有一解，舍去
综上：

2

e2

＜a＜

1

e

，
故选：A．

点评：此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a＜0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论．