Question

设f（x）=ax³+3x+2有极值，
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求极大值点和极小值点．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax³+x+1有极值，导数等于0一定有解，求出a的值，再验证当a在这个范围中时，f（x）=ax³+x+1有极值，则求出的a的范围就是f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件．；
（Ⅱ）确定函数的单调性，即可求出极大值点和极小值点．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=ax³+3x+2的导数为f′（x）=3ax²+3，
若函数f（x）有极值，则f′（x）=0有两个不同的解，即3ax²+3=0有解，∴a＜0
若a＜0，则3ax²+1=0有解，即f′（x）=0有解，∴函数f（x）有极值．
∴函数f（x）=ax³+x+1有极值时，a＜0
（Ⅱ）a＜0时，3ax²+3=0，∴x=±

1 -a

，
函数在（-∞，-

1 -a

），（

1 -a

，+∞）上单调递减，在（-

1 -a

，

1 -a

）上单调递增，
∴极大值点为

1 -a

，极小值点为

1 -a

．

点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，考查极值点，属于综合题．