题目内容
函数f（x）=x2+2x+5在[t，t+1]t∈R上的最小值为φ（t），求φ（t）的表达式．
考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值
专题：函数的性质及应用
分析：首先将抛物线y=x2+2x+5配方成y=（x+1）2+4的形式，进而可以确定对称轴为x=-1，据此可以求出其最小值．
解答：
解：∵y=x2+2x+5=（x+1）2+4，对称轴为x=-1，
∴函数f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
当t+1＜-1，即t＜-2时，φ（t）=f（x）min=f（t+1）=（t+2）2+4，
当t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，φ（t）=f（x）min=f（-1）=4，
当t＞-1时，φ（t）=f（x）min=f（t）=（t+1）2+4，
∴φ（t）=
．
∴函数f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
当t+1＜-1，即t＜-2时，φ（t）=f（x）min=f（t+1）=（t+2）2+4，
当t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，φ（t）=f（x）min=f（-1）=4，
当t＞-1时，φ（t）=f（x）min=f（t）=（t+1）2+4，
∴φ（t）=
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点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是利用配方确定二次函数的对称轴．
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