Question

已知函数f（x）=lnx-tx，t∈R
（1）求该函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤-1恒成立，试确定实数t的取值范围；
（3）证明：

ln1

2

+

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

≤

n(n-1)

4

，n∈N⁺．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间．
（2）对于恒成立的问题，采用分离参数，求出某个函数的最值即可，
（3）由函数关系得到lnn²≤n²-1，继而得到

lnn

n+1

≤

n-1

2

，累计即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-tx，
∴f′（x）=

1

x

-t=

1-tx

x

，x＞0，
当t≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当t＞0时，由1-tx＞0得0＜x＜

1

t

，由1-tx＜0，得x＞

1

t

∴当t≤0时，f（x）在定义域（0，+∞）上递增；
当t＞0时，f（x）的增区间为（0，

1

t

），减区间为（

1

t

，+∞）．
（2）∵f（x）≤-1恒成立，
∴lnx-tx+1≤0在x＞0时恒成立，
∴t≥

lnx

x

+

1

x

，x＞0，记g（x）=

lnx

x

+

1

x

，x＞0，
∴g′（x）=

1-lnx

x2

-

1

x2

=

-lnx

x2

，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴t≥1，
故确定实数t的取值范围为[1，+∞）．
（3）令t=1，由（1）知，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）≤f（1）=0
即lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号．
令x=n²，n∈N⁺，得lnn²≤n²-1，即

lnn

n+1

≤

n-1

2

，
∴

ln1

2

+

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

≤0+

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

1

2

（1+2+3+…+n-1）=

1

4

n（n-1），
∴

ln1

2

+

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

≤

n(n-1)

4

，n∈N⁺．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值及不等式证明问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，属于中档题．