Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，O为原点，P为椭圆上任意一点，过F、B、C三点的圆的圆心坐标为（m，n）．
（1）当m+n≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
（2）在（1）的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D（b+1，0），(

PF

+

OD

)•

PO

的最小值为

7

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得B（0，b），C（a，0），F（-c，0）．设过F、B、C三点的圆的方程为x²+y²+ux+vy+s=0，把B，C，F三点坐标代入可得u=c-a，v=

ac-b2

b

，s=-ac．可得m=-

u

2

，n=-

v

2

，利用m+n≤0，即可得出；
（2）在（1）的条件下，椭圆的离心率最小时，e=

2

2

．可设椭圆的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²．设P（x，y），F（-b，0），则(

PF

+

OD

)•

PO

=x²-x+y²=

1

2

(x-1)2+b2-

1

2

≥b2-

1

2

．

解答： 解：（1）由题意可得B（0，b），C（a，0），F（-c，0）．
设过F、B、C三点的圆的方程为x²+y²+ux+vy+s=0，
可得

b2+vb+s=0 a2+ua+s=0 c2-uc+s=0

，解得u=c-a，v=

ac-b2

b

，s=-ac．
∴m=-

u

2

=

a-c

2

，n=-

v

2

=

b2-ac

2b

，
∵m+n≤0，∴

a-c

2

+

b2-ac

2b

≤0，化为a²≤2c²，
∴e≥

2

2

，
又e＜1．∴

2

2

≤e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围是[

2

2

，1)．
（2）在（1）的条件下，椭圆的离心率最小时，e=

2

2

．
可设椭圆的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²（b=c）．
设P（x，y），F（-b，0），
则(

PF

+

OD

)•

PO

=x²-x+y²=x2-x+b2-

1

2

x2=

1

2

(x-1)2+b2-

1

2

≥b2-

1

2

．
∴b2-

1

2

=

7

2

，解得b²=4，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的外接圆的方程、向量的坐标运算及其数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力．