Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点．且CC₁=

2

AC
（1）求证：CN∥面AMB₁
（2）求证：B₁M⊥面AMG
（3）求：VAMBG：VABC-A1B1C1．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AB₁的中点为P，连结NP、MP，由已知得CNPM是平行四边形，由此能证明CN∥平面AMB₁．
（2）由已知得平面CC₁B₁B⊥平面ABC，从而B₁M⊥AG，进而CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁，由此能证明B₁M⊥面AMG．
（3）由VABC-A1B1C1=SABC•CC1=2

6

a3，VAMB1G=VA-MGB1，能求出VAMBG：VABC-A1B1C1．

解答： （1）证明：设AB₁的中点为P，连结NP、MP…（1分）
∵CM

∥

.

1

2

AA₁，NP

∥

.

1

2

AA₁，∴CM

∥

.

NP，…（2分）
∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（2）证明：∵CC₁⊥平面ABC，
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁B₁B，∴B₁M⊥AG．…（5分）
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁
设：AC=2a，则CC₁=2

2

a
在Rt△MCG中，MG=

CM2+CG2

=

3

a，
同理，B₁M=

6

a
∵BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BC，
∴B₁G=

B1B2+BG2

=3a，
∴MG²+B₁M²=B1G2，∴B₁M⊥MG，…（7分）
又AG∩MG=G，∴B₁M⊥平面AMG..…（8分）
（3）解：VABC-A1B1C1=SABC•CC1=2

6

a3…（9分）

VAMB1G=VA-MGB1= 1 3 SMGB1•AG= 1 3 • 1 2 •MG•MB1•AG = 1 3 • 1 2 • 3 a• 6 a• 3 a= 6 2 a3…(10分)

∴VAMB1G：VABC-A1B1C1=1：4．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查两个几何体的体积比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．