Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含x

3

2

的项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：通过展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1得到n值，然后求要求的特征项．

解答： 解：由题意，第五项系数和第三项系数分别为

C

4 n

(-2)4，

C

2 n

(-2)2，并且

C 4 n (-2)4

C 2 n (-2)2

=

10

1

，
化简得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各项系数和为（1-2）⁸=1；
（2）通项公式为T_r+1=

C

r 8

(

x

)8-r(-

2

x2

)r=(-2)r

C

r 8

x4-

5r

2

，
令4-

5r

2

=

3

2

，则r=1，
所以展开式中含x 

3

2

的项为T₂=-16x 

3

2

；
（3）由n=8知第五项的二项式系数最大，此时T₅=（-2）⁴C

4 8

x^-6=1120x^-6．

点评：本题考查了二项式定理的运用；关键是利用已知求出指数后，找出二项式的展开式通项，根据x的指数求特征项．