Question

已知等差数列{a_n}中，a₃a₇=-16，a₄+a₆=0
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）若d＞0，求数列{a_n}前n项和S_n最小值及取的最小值时的n．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的通项公式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入通项公式和求和公式可得；（Ⅱ）由题意可得通项公式，可得数列{a_n}前4项为负数，第5项为0，从第6项开始为正数，易得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

a3a7=(a1+2d)(a1+6d)=-16 a4+a6=a1+3d+a1+5d=0

，
解得

a1=-8 d=2

或

a1=8 d=-2

，
∴当

a1=-8 d=2

时可得a_n=-8+2（n-1）=2n-10，此时S_n=-8n+

n(n-1)

2

×2=n²-9n，
当

a1=8 d=-2

时可得a_n=8-2（n-1）=-2n+10，此时S_n=8n+

n(n-1)

2

×（-2）=-n²+9n；
（Ⅱ）∵d＞0，∴

a1=-8 d=2

，a_n=2n-10，
令a_n=2n-10≥0可解得n≥5，
∴数列{a_n}前4项为负数，第5项为0，从第6项开始为正数，
∴数列的前4项或前5项和最小为S₅=S₄=4²-9×4=-20

点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．