Question

已知函数f（x）=2^x-1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则

1

m

+

1

2n

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用2⁰=1可得函数f（x）=2^x-1+1过定点A（1，2），由于点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵f（1）=2⁰+1=2，
∴函数f（x）=2^x-1+1过定点A（1，2），
由点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，
∴m+2n=1．
∴

1

m

+

1

2n

=（m+2n）(

1

m

+

1

2n

)=2+

2n

m

+

m

2n

≥2+2

2n m • m 2n

=4，当且仅当m=2n=

1

2

取等号，
∴

1

m

+

1

2n

的最小值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了指数的运性质和基本不等式的性质，属于中档题．