Question

P为圆C₁：x²+y²=9上任意一点，Q为圆C₂：x²+y²=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C₂内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为（　　）

• A、

  13

  25

• B、

  3

  5

• C、

  13

  25π

• D、

  3

  5π

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．
法1：根据中点代入法，求出满足条件轨迹方程，即可求相应的面积，
法2：利用三角换元法，求出满足条件轨迹方程，即可求相应的面积．

解答： 解：【法1】设Q（x₀，y₀），中点M（x，y），则P（2x-x₀，2y-y₀）代入x²+y²=9，
得（2x-x₀）²+（2y-y₀）²=9，
化简得：（x-

x0

2

）²+（y-

y0

2

）²=

9

4

，
又x₀²+y₀²=25表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M轨迹是在以（

x0

2

，

y0

2

）为圆心，
以

3

2

为半径的圆绕原点一周所形成的图形，
即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，
即应有x²+y²=r²（1≤r≤4），
那么在C₂内部任取一点落在M内的概率为

16π-π

25π

=

15

25

=

3

5

，
故选B．
【法2】设P（3cosθ，3sinθ），Q（5cosα，5sinα），M（x，y），
则2x=3cosθ+5cosα，①
2y=3sinθ+5sinα，②，
①²+②²得：x²+y²=

17

2

+

15

2

cos（θ-α）=r²，
所以M的轨迹是以原点为圆心，
以r，（1≤r≤4），为半径的圆环，
那么在C₂内部任取一点落在M内的概率为

16π-π

25π

=

15

25

=

3

5

，
故选B．

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的区域及其面积是解决本题的关键．