Question

某种汽车，购买时费用为10万元；每年交保险费、汽油费等合计9千元；汽车的维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增．问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最小）？提示：年平均费用=

n年总费用

年数n

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：可得汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，从而可求汽车的年平均费用，再由基本不等式可得结论．

解答： 解：设使用n年平均费用最少，
∵汽车维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，
∴汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，
∴汽车使用n年总维修费用为

n(0.2+0.2n)

2

万元，
设汽车的年平均费用为y万元，则有y=

10+0.9n+ n(0.2+0.2n) 2

n

=1+

10

n

+

n

10

≥1+2

10 n • n 10

=3万元，当且仅当

10

n

=

n

10

即x=10时，取等号，
∴当使用10年时年平均费用y最小，即这种汽车使用10年报废最合算．

点评：本题考查等差数列的性质，涉及基本不等式的运用，属中档题．