Question

已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x³-3px²相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12-6px1=3x22-6px2=m，把x₁，x₂看作方程3x²-6px-m=0的两个根，利用根与系数关系得到x₁+x₂=2p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值．

解答： 解：由y=x³-3px²，得y′=3x²-6px，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12-6px1，3x22-6px2，
∵曲线C在A，B处的切线平行，
∴3x12-6px1=3x22-6px2，
令3x12-6px1=3x22-6px2=m，
∴x₁，x₂是方程3x²-6px-m=0的两个根，
则x₁+x₂=2p，
下面证线段AB的中点在曲线C上，
∵

x13-3px12+x23-3px22

2

=

(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3p[(x1+x2)2-2x1x2]

2

=

8p3-12p3

2

=-2p3，
而(

x1+x2

2

)3-3p(

x1+x2

2

)2=(

2p

2

)3-3p(

2p

2

)2=-2p³，
∴线段AB的中点在曲线C上，
由x₁+x₂=2p，知线段的中点为（p，-p-1），
∴-p-1=p³-3p•p²=-2p³，解得p=1．
故答案为：1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，求解该题的主线是利用AB中点的坐标相等，关键是证明AB的中点在曲线C上，是中档题．