Question

10．各项为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且${S_{n+1}}={a_2}{S_n}+{a_1}，\;n∈{N^*}$，当且仅当n=1，n=2时S_n＜3成立，那么a₂的取值范围是[1，2）．

Answer 1

分析 ${S_{n+1}}={a_2}{S_n}+{a_1}，\;n∈{N^*}$，可得：a₁+a₂=a₂•a₁+a₁，a₂＞0，解得a₁=1．由a₁+a₂+a₃=a₂（a₁+a₂）+a₁，解得：
a₃．当且仅当n=1，n=2时S_n＜3成立，n≥3时，S_n≥3．解出即可得出．

解答 解：∵${S_{n+1}}={a_2}{S_n}+{a_1}，\;n∈{N^*}$，
∴a₁+a₂=a₂•a₁+a₁，a₂＞0，解得a₁=1．
a₁+a₂+a₃=a₂（a₁+a₂）+a₁，解得：a₃=${a}_{2}^{2}$．
当且仅当n=1，n=2时S_n＜3成立，n≥3时，S_n≥3．
∴1+a₂+${a}_{2}^{2}$≥3，1+a₂＜3．
解得1≤a₂＜2．
那么a₂的取值范围是[1，2）．
故答案为：[1，2）．

点评 本题考查了数列的递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．