Question

6．函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）；
（3）当0＜x＜2时不等式f（x）＞ax-5恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=1，y=0代入条件式可得出f（0）；
（2）令y=0即可得出f（x）；
（3）分离参数可得a＜$\frac{x2+x+3}{x}$=1+x+$\frac{3}{x}$，利用基本不等式即可得出a的范围．

解答 解：（1）令x=1，y=0，得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1=2，
∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，f（x+0）-f（0）=（x+2×0+1）•x=x²+x，
∴f（x）=x²+x-2．
（3）f（x）＞ax-5?x²+x-2＞ax-5，即ax＜x²+x+3，
∵x∈（0，2），
∴a＜$\frac{x2+x+3}{x}$=1+x+$\frac{3}{x}$．
当x∈（0，2）时，1+x+$\frac{3}{x}$≥1+2$\sqrt{3}$，当且仅当x=$\frac{3}{x}$，即x=$\sqrt{3}$时取等号，由$\sqrt{3}$∈（0，2），
得（1+x+$\frac{3}{x}$）_min=1+2$\sqrt{3}$．
∴a＜1+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抽象函数的性质，基本不等式的应用与函数最值的计算，属于中档题．