Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+

a

x

，
（1）若a=1，试用定义法证明f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a=1代入函数的表达式，得到f（x）=

1

2

x²+

1

x

，设x₁＞x₂≥1，根据定义证明即可；
（2）先求出函数的导数，由f′（x）≥0，转化为a≤x³在[2，+∞）恒成立，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=

1

2

x²+

1

x

，
设x₁＞x₂≥1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2

x12+

1

x1

-

1

2

x22-

1

x2

=

1

2

（x12-x22）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2(x1+x2)-1

2x1x2

，
∵x₁＞x₂≥1，
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂（x₁+x₂）＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（2）∵f′（x）=x-

a

x2

=

x3-a

x2

，
∵f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
∴x³-a≥0在[2，+∞）恒成立，即a≤x³在[2，+∞）恒成立，
∴a≤x³_min=8，
故a的范围是：（-∞，8]．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了转化思想，是一道综合题．