Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a=3，b=

3

，且2acosA=bcosC+ccosB，则边c的长为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：首先，根据正弦定理，化简2acosA=bcosC+ccosB，得到2sinAcosA=sin（B+C），然后，根据三角形的性质得到A的值，然后，再借助于正弦定理，得到B=

π

6

，从而得到C=

π

2

，最后，利用勾股定理求解其值．

解答： 解：根据正弦定理，
设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，
∵2acosA=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB
∴2sinAcosA=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴B+C=π-A，
∴2sinAcosA=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

，
根据正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

b

a

sinA=

3

3

×

3

2

=

1

2

，
∴B=

π

6

，
∴C=

π

2

，
∴c=

a2+b2

=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题重点考查了正弦定理及其应用、三角恒等变换公式等知识，属于中档题，准确把握正弦定理的变形公式是解题的关键．