Question

设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[

3

2

]=1）．对于给定的n∈N^*，定义C_n^x=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞），则当x∈[

5

4

，3)时，函数f（x）=C₈^x的值域为（　　）

• A、(4，

  32

  5

  ]
• B、(4，

  32

  5

  ]∪(

  28

  3

  ，28]
• C、[4，

  32

  5

  )∪(

  28

  3

  ，28]
• D、[

  28

  3

  ，28]

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：对于题目中新定义的C_n^x=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，理解是解决此题的问题，确定函数f（x）=C₈^x的表达式，转化成一个函数的值域求解．

解答： 解：依定义，当x∈[

5

4

，2)时，[x]=1，f(x)=

C

x 8

=

8

x

，因f(x)=

8

x

在[

5

4

，2)上是减函数，所以f(2)＜f(x)≤f(

5

4

)，即4＜f(x)≤

32

5

当x∈[2，3）时，[x]=2，f(x)=

C

x 8

=

8×7

x(x-1)

=

56

x(x-1)

因为函数g（x）=x（x-1），即g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

在x∈[2，3）上是增函数，
所以g（2）≤g（x）＜g（3），即2≤g（x）＜6，从而

56

6

＜f(x)≤

56

2

，即

28

3

＜f(x)≤28
所以函数f(x)=

C

x 8

的值域为(4，

32

5

]∪(

28

3

，28]，
故选B．

点评：本题是一道创新题，新的高考，每年均会出现一定新颖的题目，我们只要认真审题，细心研究，活用基础知识，把握数学思想、数学方法，构建知识结构和认知结构，实现知识到能力的转化．