Question

已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，△ABC的面积S=

a2

4

，且bc=1．
（1）求b²+c²的最大值；
（2）当b²+c²最大时，若bsin（

π

4

-C）-csin（

π

4

-B）=a，求角B和C．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由面积公式和余弦定理可得b²+c²=2（sinA+cosA）=2

2

sin（A+

π

4

），由三角函数知识易得答案；
（2）由（1）当b²+c²最大时，A=

π

4

，由正弦定理和bsin（

π

4

-C）-csin（

π

4

-B）=a，可得sinBsin（

π

4

-C）-sinCsin（

π

4

-B）=

2

2

，整理可得B和C的式子，结合三角形的内角和定理可得结论．

解答： 解：（1）由题意可得S=

1

2

bcsinA=

a2

4

，∴a²=2bcsinA=2sinA，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2cosA，
∴2sinA=b²+c²-2cosA，
∴b²+c²=2（sinA+cosA）=2

2

sin（A+

π

4

）
∴当A=

π

4

时，b²+c²取最大值2

2

；
（2）由（1）当b²+c²最大时，A=

π

4

，
又∵bsin（

π

4

-C）-csin（

π

4

-B）=a，
∴sinBsin（

π

4

-C）-sinCsin（

π

4

-B）=sinA=

2

2

，
∴

2

2

sinB（cosC-sinC）-

2

2

sinC（cosB-sinB）=

2

2

，
整理可得sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=1，
∴B-C=

π

2

，又B+C=π-A=

3π

4

，∴B=

5π

8

，C=

π

8

点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函数公式，属中档题．