Question

已知函数f（x）=

1 4 x+1，x≤1 lnx，x＞1

则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点与方程根的关系,分段函数的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．

解答： 解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴y′=

1

x

，
设切点为（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切线方程为y-y₀=

1

x0

（x-x₀），
而切线过原点，∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直线l₁的斜率为

1

e

，
又∵直线l₂与y=

1

4

x+1平行，
∴直线l₂的斜率为

1

4

，
∴实数a的取值范围是[

1

4

，

1

e

）
故答案为：[

1

4

，

1

e

）．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查函数与方程的关系，是易错题．