Question

设a₁，d为实数，首项为a₁，公差为d的等差数{a_n}的前n项和为S_n，满足S₅S₆+15=0．
（Ⅰ）当S₅=5时，若b_n=|a_n|，求b_n前n项和T_n
（Ⅱ）求d的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）根据附加条件，先求得s₆再求得a₆分别用a₁和d表示，再解关于a₁和d的方程组．
（II）所求问题是d的范围，所以用“a₁，d”法．

解答： 解：（Ⅰ）由S₅=5和S₅S₆+15=0得S₆=-3．∴a₆=S₆-S₅=-8．（1分）∴

S5=5a1+10d=5 a6=a1+5d=-8

．
解得a₁=7，d=-3，∴a_n=10-3n．
由10-3n≥0得n≤

10

3

，
∴当n≤3时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-

3

2

n2+

17

2

n，
当n≥4时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=

3

2

n2-

17

2

n+24，
综上T_n=

- 3 2 n2+ 17 2 n n≤3 3 2 n2- 17 2 n+24 n≥4

．
（Ⅱ）因为S₅S₆+15=0，
所以（5a₁+10d）（6a₁+15d）+15=0，
整理得

a

2 1

+

9

2

a1d+5d2+

1

2

=0，
即(a1+

9d

4

)2=

d2

16

-

1

2

，
∵(a1+

9d

4

)2≥0，∴

d2

16

-

1

2

≥0，
解得d≤-2

2

或d≥2

2

，
∴d的取值范围为（-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞）．

点评：本题主要考查等差数列概念、求和公式通项公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力．