Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B为直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BCED；
（Ⅱ）若P是线段BC上的点，且三棱锥D-A₁EP的体积为

3

6

，求BP长．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，二面角A₁-DE-B为直二面角，由此能证明A₁D⊥平面BDEC．
（Ⅱ）由设PB=x，由（1）知VD-A1EP=VA1-DEP=

1

3

•A1D•S△DEP=

3

6

，由此能求出BP．

解答： （Ⅰ）证明：等边三角形ABC的边长为3，
且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
∴AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，
∴DE=

3

⇒DE⊥AB⇒DE⊥A1D，
又二面角A₁-DE-B为直二面角，
平面A₁DE∩平面BDE=DE，
∴A₁D⊥DE，A₁D⊥BD，∴A₁D⊥平面BDEC．
（Ⅱ）解：设PB=x，
由（1）知VD-A1EP=VA1-DEP=

1

3

•A1D•S△DEP=

3

6

，
∴S△DEP=

3

2

，
又在△ABC中，
S_△DEP=S_△ABC-S_△DBP-S_△ECP-S_△ADE

3

2

=

9 3

4

-

3

2

x-

3

4

(3-x)-

3

2

，解得：x=2，
∴BP=2．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．