Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程

x=tcosα y=1+tsinα

（ t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到α=

3π

4

，得到直线l新的参数方程为

x=tcos 3π 4 =- 2 2 t y=1+tsin 3π 4 =1+ 2 2 t

（t为参数）．代入抛物线方程可得t2+2

6

t+2=0．设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，利用|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=

4cosθ

sin2θ

化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，
得到曲线C的直角坐标方程为y²=4x，
故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（ t为参数，0≤α＜π）．
故l经过点（0，1）；
若直线l经过点（1，0），则α=

3π

4

，
∴直线l的参数方程为

x=tcos 3π 4 =- 2 2 t y=1+tsin 3π 4 =1+ 2 2 t

（t为参数）．
代入y²=4x，得t2+2

6

t+2=0
设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，则t1+t2=-2

6

，t1t2=2．
|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(-2 6 )2-4×2

=4．

点评：本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．