Question

己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，N是CC₁的中点．
（I）求证：A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，证明

A1C

•

BN

=0+

3

2

+(-

3

)•

3

2

=0，可得A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求出平面A₁BN的法向量、平面A₁NC的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B-A₁N-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结BO，A₁O，由题意知 BO⊥AC，A₁O⊥AC．
又因为 平面A₁ACC₁⊥平面ABC，所以 A₁O⊥平面ABC
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz．…（2分）
则O（0，0，0），B(

3

，0，0)，A1(0，0，

3

)，N(0，

3

2

，

3

2

)，C（0，1，0），

A1C

=(0，1，-

3

).

BN

=(-

3

，

3

2

，

3

2

)…（4分）
因为 

A1C

•

BN

=0+

3

2

+(-

3

)•

3

2

=0，所以A₁C⊥BN…（6分）
（Ⅱ）解：取AC的中点O，连结BO，A₁O，由题意知 BO⊥AC，A₁O⊥AC．
又因为 平面A₁ACC₁⊥平面ABC，所以 A₁O⊥平面ABC
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz．…（7分）
则O（0，0，0），B(

3

，0，0)，A1(0，0，

3

)，N(0，

3

2

，

3

2

)，

A1N

=(0，

3

2

，-

3

2

)，

A1B

=(

3

，0，-

3

)．
设平面A₁BN的法向量为n₁=（x，y，z），则

A1N •n1=0 A1B •n1=0.

即

3 2 y- 3 2 z=0 3 x- 3 z=0.

令x=1．所以n1=(1，

3

3

，1)．…（9分）
又平面A₁NC的法向量n₂=（1，0，0）…（10分）
设二面角B-A₁N-C的平面角为θ，则cosθ=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

21

7

．…（12分）

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．