Question

已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+

1

2

x2-（m+2）x（m∈R）的两个极值点，若

b

a

≥4．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域，接着求出函数的导数，由于x=a、x=b是函数f（x）=lnx+

1

2

x2-（m+2）x（m∈R）的两个极值点，所以x=a、x=b是f′（x）的2个根，根据导数的特点和

b

a

≥4可判断a，b是2个正值；
（2）把f（b）-f（a）的表达式求出来，利用导数求其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+x-(m+2)=

x2-(m+2)x+1

x

．
由题意得：x=a、x=b是方程x²-（m+2）x+1=0的两个不等正根，且a＜b，
∴

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

⇒m＞0且a+b=m+2，ab=1．             …3分
设t=

b

a

，则t≥4，(m+2)2=(a+b)2=

(a+b)2

ab

=t+

1

t

+2，
易知函数g(t)=t+

1

t

+2在[1，+∞）上单调递增，所以g(t)≥g(4)=

25

4

，所以m≥

1

2

．
故实数m的取值范围是[

1

2

，+∞)．                   …6分
（Ⅱ）∵f(b)-f(a)=ln

b

a

+

1

2

(b2-a2)-(m+2)(b-a)，
所以f(b)-f(a)=ln

b

a

+[

1

2

(b2-a2)-(a+b)(b-a)]•

1

ab

=lnt-

1

2

(t-

1

t

)．
构造函数h(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)（其中t≥4），则h′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，
所以函数h（t）在[4，+∞）上单调递减，于是有h(t)≤h(4)=ln4-

15

8

．
故f（b）-f（a）的最大值为ln4-

15

8

．        …13分．

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性、求其最值，属于中档题．