Question

某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：

t（小时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+b的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出y=Asinωt+b的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：应用题,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据数据，

A+h=13 -A+h=7

，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=

π

6

，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；
（2）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin

π

6

t+10≥11.5（0≤t≤24），从而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；

解答： 解：（1）根据数据，

A+h=13 -A+h=7

，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴y=3sin（

π

6

x+φ）+10
将点（3，13）代入可得π=0
∴函数的表达式为y=3sin

π

6

t+10（0≤t≤24）；
（2）由题意，水深y≥4.5+7，
即3sin

π

6

t+10≥11.5（0≤t≤24），
∴sin

π

6

t≥

1

2

，
∴sin

π

6

t∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k=0，1，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．

点评：本题以表格数据为载体，考查三角函数模型的构建，考查解三角不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．