Question

16．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知二面角A₁-BD-A的大小为$\frac{π}{6}$，若空间一条直线l与直线CC₁所成的角为$\frac{π}{4}$
，则直线l与平面A₁BD所成的角的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$
• B． $[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$
• C． $[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}）$
• D． $[\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$

Answer 1

分析 如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A₁O，由三垂线定理可得BD⊥A₁O，则∠AOA₁为二面角A₁-BD-A的平面角．把直线l平移到AM，则∠A₁AM=∠MAO=$\frac{π}{4}$．过点A作AP⊥A₁O，则AP⊥平面A₁BD．利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A₁BD所成的最大角为∠AMA₁．假设$∠{A}_{1}AN=\frac{π}{4}$，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A₁BD所成的最小角为∠ANP．

解答 解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A₁O，由三垂线定理可得BD⊥A₁O，则∠AOA₁为二面角A₁-BD-A的平面角，∴∠AOA₁=$\frac{π}{6}$．
把直线l平移到AM，则∠A₁AM=∠MAO=$\frac{π}{4}$．
过点A作AP⊥A₁O，则AP⊥平面A₁BD．
∴AM（即直线l）与平面A₁BD所成的最大角为∠AMA₁=∠MAO+∠MOA=$\frac{5π}{12}$．

假设$∠{A}_{1}AN=\frac{π}{4}$，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）
与平面A₁BD所成的最小角为∠ANP=∠PA₁A-∠A₁AN=$\frac{π}{12}$．
∴直线l与平面A₁BD所成角的取值范围是[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．
故选：A．

点评 本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．