Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$a=4，cosA=\frac{3}{4}，sinB=\frac{{5\sqrt{7}}}{16}，c＞4$．
（1）求b；
（2）已知△ABC内切圆的半径$r=\frac{2S}{l}$，其中S为△ABC的面积，l为△ABC的周长，求△ABC内切圆的面积．

Answer 1

分析 （1）由$cosA=\frac{3}{4}$，$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，正弦定理可知：$b=\frac{asinB}{sinA}$；
（2）利用余弦定理可知：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即可求得c的值，则△ABC的周长为4+5+6=15，则$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$，求得△ABC内切圆的半径$r=\frac{2S}{l}$，即可求得△ABC内切圆的面积．

解答 解：（1）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则$b=\frac{asinB}{sinA}$，
∵$cosA=\frac{3}{4}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
由sinB=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
∴b=5．…（4分）
（2）由余弦定理可知：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{5}^{2}+{c}^{2}-{4}^{2}}{2×5×c}$=$\frac{3}{4}$，
则2c²-15c+18=（2c-3）（c-6）=0，
由c＞4，
∴c=6，
∴△ABC的周长为4+5+6=15，
又$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$，…（8分）
∴$r=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，…（9分）
故△ABC内切圆的面积为$π{r^2}=\frac{7}{4}π$．…（10分）

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．