Question

4．已知函数f（x）=xe^x+c有两个零点，则c的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=xe^x+c的导函数f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，则x=-1，
∵当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e^-1+c，
若函数f（x）=xe^x+c有两个零点，
则f（-1）=-e^-1+c＜0，
即c＜$\frac{1}{e}$，
又∵c≤0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x+c＜0恒成立，不存在零点，
故c＞0．
综上0＜c＜$\frac{1}{e}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查函数方程转化问题的解法，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键．