Question

6．已知函数f（x）=lnx-x²+ax，
（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；
（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，且x₁＜x₂，求证$f'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$
（3）证明当n≥2时，$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{lnn}＞1$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x-$\frac{1}{x}$恒成立，求出a的范围即可；
（2）求出a，得到f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，问题转化为证明$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$＞ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，即证明u（t）=$\frac{2（1-t）}{1+t}$+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；
（3）令a=1，得到lnx≤x²-x，得到x＞1时，$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{1}{x（x-1）}$，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可．

解答 （1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，
即a≤2x-$\frac{1}{x}$恒成立，
而y=2x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）递增，
故2x-$\frac{1}{x}$＞1，
故a≤1；
（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴方程lnx-x²+ax=0的两个根为x₁，x₂，
则 lnx₁-${{x}_{1}}^{2}$+ax₁=0，①，lnx₂-${{x}_{2}}^{2}$+ax₂=0，②，
两式相减得a=（x₁+x₂）-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
又f（x）=lnx-x²+ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a，
则f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-（x₁+x₂）+a=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
要证$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜0，
即证明$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$＞ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即证明u（t）=$\frac{2（1-t）}{1+t}$+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，
∵u′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1}^{2}}$，
又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，
从而知$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜0，
故f′（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）＜0成立；
（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，
∴f（x）=lnx-x²+x≤f（1）=0，
故lnx≤x²-x，
x＞1时，$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{1}{x（x-1）}$，
分别令x=2，3，4，5，…n，
故$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=1-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞1-$\frac{1}{n}$，
即左边＞1-$\frac{1}{n}$＞1，得证．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查通过研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．