Question

8．已知函数$f（x）=sinx-2\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）求f（x）在区间$[0，\frac{2}{3}π]$上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）x∈$[0，\frac{2}{3}π]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求出f（x）的最小值．

解答 解：函数$f（x）=sinx-2\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$=sinx-$\sqrt{3}（1-cosx）$=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$是单调减函数，
解得：$\frac{π}{6}+2kπ≤x≤\frac{7π}{6}+2kπ$，（k∈Z）
∴f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{6}+2kπ$，$\frac{7π}{6}+2kπ$]，（k∈Z）．
（2）∵x∈$[0，\frac{2}{3}π]$上，则x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
根据三角函数的图象和性质可知：当x+$\frac{π}{3}$=π时，函数f（x）取得最小值．
即$f（x）_{min}=sinπ-\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
故得f（x）在区间$[0，\frac{2}{3}π]$上的最小值为$-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．