Question

11．设数列{a_n}是公差大于0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=9，且2a₁，a₃-1，a₄+1构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2^n-1（n∈N^*），设T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜6．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列前n项和、通项公式和等比数列，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）推导出b_n=（2n-1）•2^1-n=（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和，由此能证明T_n＜6．

解答 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，得到a₂=3，
且2a₁，a₃-1，a₄+1构成等比数列，
∴得到未知数a₂与d的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=9}\\{（{a}_{2}+2d+1）（2{a}_{2}-2d）=（{a}_{2}+d-1）^{2}}\\{{a}_{2}=3}\end{array}\right.$，
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
证明：（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2^n-1（n∈N^*），
∴$\frac{2n-1}{{b}_{n}}={2}^{n-1}$，∴b_n=（2n-1）•2^1-n=（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
设T_n是数列{b_n}的前n项和，
则T_n=2•$\frac{1}{2}$+6$•\frac{1}{{2}^{2}}$+10•$\frac{1}{{2}^{3}}$+14•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2$•\frac{1}{{2}^{2}}$+6$•\frac{1}{{2}^{3}}+10•\frac{1}{{2}^{4}}+14•\frac{1}{{2}^{5}}$…+（4n-2）$•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}$T_n=1+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$（4n-2）•\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（4n-2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$＜6．
∴T_n＜6．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于6的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．