Question

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为B₁，左、右焦点为F₁、F₂，且F₂和抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，△F₁B₁F₂是正三角形．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过F₂作直线l，与C₁交于A、B两点，与C₂交于C、D两点，求

S△F1CD

S△F1AB

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）抛物线C₂：y²=4x的焦点为（1，0），由此得到c=1，由△F₁B₁F₂是正三角形，得到a=2，b=

3

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设直线l的方程为x=ty，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），联立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出

S△F1CD

S△F1AB

的最小值．

解答： 解：（1）抛物线C₂：y²=4x的焦点为（1，0），
∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为B₁，
左、右焦点为F₁、F₂，且F₂和抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，
∴c=1，又△F₁B₁F₂是正三角形，∴a=2，b=

3

，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设直线l的方程为x=ty，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y1+y2=-

6t

3t2+4

，y1y2=-

9

3t2+4

，
S△F1AB=

1

2

|F1F2|×|y1-y2|
=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 t2+1

3t2+4

，
联立

x=ty+1 y2=4x

，得y²-4ty-4=0，
∴y₃+y₄=4t，y₃•y₄=-4，
S△F1CD=

1

2

|F1F2|×|y3-y4|
=

(y3+y4)2-4y1y2

=4

t2+1

，

S△F1CD

S△F1AB

=

1 2 |F1F2|×|y3-y4|

1 2 |F1F3|×|y1-y2|

=

|y3-y4|

|y1-y2|

=

4 t2+1

12 t2+1 3t2+4

=

3t2+4

3

≥

4

3

，
当且仅当t=0时取等号，
∴(

S△F1CD

S△F1AB

)min=

4

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积比值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．