题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且过点（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足
+
=t
（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足
| OA |
| OB |
| OP |
考点：椭圆的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由离心率为
，可得a2=2b2，代入点（0，-1），可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入
+
=t
后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．
| ||
| 2 |
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入
| OA |
| OB |
| OP |
解答：
解：（Ⅰ）由题知离心率为
，所以
=
．即a2=2b2．
又因为过点（0，-1），所以b2=1，a2=2．
故C的方程为
+y2=1…（3分）
（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由y=k（x-2）代入
+y2=1，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，
∴k2＜
． …（5分）
x1+x2=
，x1x2=
∵
+
=t
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
∴x=
=
，y=
．…（8分）
∵点P在椭圆上，∴
+2•
=2，
∴16k2=t2（1+2k2），
∴t2=
＜
=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．…（12分）
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
又因为过点（0，-1），所以b2=1，a2=2．
故C的方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由y=k（x-2）代入
| x2 |
| 2 |
△=64k2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，
∴k2＜
| 1 |
| 2 |
x1+x2=
| 8k2 |
| 1+2k2 |
| 8k2-2 |
| 1+2k2 |
∵
| OA |
| OB |
| OP |
∴x=
| x1+x2 |
| t |
| 8k2 |
| t(1+2k2) |
| -4k |
| t(1+2k2) |
∵点P在椭圆上，∴
| 64k4 |
| t2(1+2k2)2 |
| 16k2 |
| t2(1+2k2)2 |
∴16k2=t2（1+2k2），
∴t2=
| 16 | ||
|
| 16 |
| 2+2 |
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．…（12分）
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．
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