Question

在各项均为正数的等差数列{a_n}中，对任意n∈N^*都有a₁+a₂+…+a_n=

1

2

a_na_n+1
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=2 an，求证：对任意的n∈N^*都有b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的概念及简单表示法

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）求出d=1，从而a₁=a₂-d=1，即可求数列{a_n}的通项a_n；
（2）利用叠加法求出b_n=2ⁿ-1，利用作差法，即可证明结论．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d．
令n=1，得a₁=

1

2

a₁a₂．
由a₁＞0，得a₂=2．
令n=2，得a₁+a₂=

1

2

a₂a₃，
即a₁+2=a₁+2d，得d=1．
从而a₁=a₂-d=1．
故a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）证明：因为a_n=n，所以b_n+1-b_n=2ⁿ，
所以b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1．
又b_nb_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²=-2ⁿ＜0，
所以b_nb_n+2＜b_n+1²．

点评：本题考查等差数列的通项，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．