Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，函数f（x）=sin（

π

2

+x）cos（A-x）（x∈R）的最大值为

2+ 3

4

．
（1）求角A的大小
（2）若△ABC面积的最大值为2+

3

，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）运用积化和差公式，余弦函数的值域即可得到最大值，进而求得A；
（2）运用余弦定理和重要不等式可得bc，再由三角形的面积公式计算即可得到a．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

π

2

+x）cos（A-x）
=cosxcos（A-x）=

1

2

（cosA+cos（A-2x））≤

1

2

cosA，
则有

1

2

cosA=

2+ 3

4

，即cosA=

3

2

，
A为三角形的内角，则A=

π

6

；
（2）由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos

π

6

≥2bc-

3

bc，
即bc≤（2+

3

）a²，
△ABC面积S=

1

2

bcsin

π

6

当且仅当b=c，S取得最大值

1

2

×(2+

3

)×

1

2

a²=2+

3

，
则有a²=4，即有a=2．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查积化和差和余弦函数的图象和性质，考查余弦定理和面积公式以及重要不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．