Question

已知在平面直角坐标系中，圆C：（x-a）²+（y-b）²=10（a＞b＞0）在直线x+2y=0上截得的弦长为2

5

（1）求a，b满足的关系；
（2）当a²+b²取得最小值时，求圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）求出圆心到直线的距离，利用圆C：（x-a）²+（y-b）²=10（a＞b＞0）在直线x+2y=0上截得的弦长为2

5

，即可求a，b满足的关系；
（2）利用配方法，确定a²+b²最小值，即可求圆C的方程．

解答： 解：（1）圆心到直线的距离为

|a+2b|

5

∵圆C：（x-a）²+（y-b）²=10（a＞b＞0）在直线x+2y=0上截得的弦长为2

5

，
∴2

5

=2

10- (a+2b)2 5

，
∵a＞b＞0，
∴a+2b=5；
（2）a²+b²=（5-2b）²+b²=5b²-20b+25=5（b-2）²+5，
∴b=2时，a²+b²取得最小值5，此时a=1，
∴圆C的方程为：（x-1）²+（y-2）²=10．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，属于中档题．