题目内容
①非零向量
，
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为30°；
②“
•
＞0”是“
，
的夹角为锐角”的充要条件；
③将函数y=|x+1|的图象按向量
=（-1，0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；
④在△ABC中，若（
+
）•（
-
）=0，则△ABC为等腰三角形．
其中正确的命题是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
②“
| a |
| b |
| a |
| b |
③将函数y=|x+1|的图象按向量
| a |
④在△ABC中，若（
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
其中正确的命题是
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：①非零向量
，
满足|
|=|
|=|
-
|，设
=
，
=
，则△OAB是等边三角形，即可得出
与
+
的夹角为30°；
②“
，
的夹角为锐角”⇒“
•
＞0”，反之不成立，因为当
与
同向共线时也满足
•
＞0；
③设P（x，y）为平移后的图象上的任意一点，则平移前对应的点P′（x+1，y）在原函数y=|x+1|的图象上，可得y=|x+2|；
④在△ABC中，设D是边BC的中点，则
+
=2
，由（
+
）•（
-
）=0，可得2
⊥
，于是AD⊥BC且平分BC，即△ABC为等腰三角形，
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| a |
| a |
| b |
②“
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
③设P（x，y）为平移后的图象上的任意一点，则平移前对应的点P′（x+1，y）在原函数y=|x+1|的图象上，可得y=|x+2|；
④在△ABC中，设D是边BC的中点，则
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| AD |
| CB |
解答：
解：①非零向量
，
满足|
|=|
|=|
-
|，设
=
，
=
，则△OAB是等边三角形，因此
与
+
的夹角为30°，正确；
②“
，
的夹角为锐角”⇒“
•
＞0”，反之不成立，因为当
与
同向共线时也满足
•
＞0，∴“
•
＞0”是“
，
的夹角为锐角”的必要非充分条件，因此不正确；
③设P（x，y）为平移后的图象上的任意一点，则平移前对应的点P′（x+1，y）在元函数y=|x+1|的图象上，∴y=|x+2|，因此③不正确
④在△ABC中，设D是边BC的中点，则
+
=2
，又（
+
）•（
-
）=0，∴2
⊥
，∴AD⊥BC且平分BC，因此△ABC为等腰三角形，正确．
综上可得：只有①④正确．
故答案为：①④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| a |
| a |
| b |
②“
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
③设P（x，y）为平移后的图象上的任意一点，则平移前对应的点P′（x+1，y）在元函数y=|x+1|的图象上，∴y=|x+2|，因此③不正确
④在△ABC中，设D是边BC的中点，则
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| AD |
| CB |
综上可得：只有①④正确．
故答案为：①④．
点评：本题考查了向量的平行四边形法则、等边三角形的性质、向量夹角公式、图象的平移、等腰三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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