Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A₁，B₁两点，记直线A₁B₁的斜率为k₁
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在常数λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意c=1，根据椭圆的离心率，即可求得a的值，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆方程；
（2）根据椭圆的准线方程，即可求得AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得A₁及B₁，k₁=$\frac{-6{y}_{0}}{2{x}_{0}}$=-3k，存在λ=-3，使得k₁=λk恒成立．

解答 解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，
则b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₀，y₀），则2y₀²=2-y₀²，则B（-x₀，-y₀），k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
右准线方程x=2，则M（2，0），
直线AM的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（x₀-2）²x²+2y₀²（x-2）²-2（x₀-2）²=0，
该方程两个根为x₀，${x}_{{A}_{1}}$，
∴x₀•${x}_{{A}_{1}}$=$\frac{8{y}_{0}^{2}-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+2{y}_{0}^{2}}$=$\frac{4（2-{x}_{0}^{2}）-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+2-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$•x₀，
则${x}_{{A}_{1}}$=$\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，${y}_{{A}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（${x}_{{A}_{1}}$-2）=$\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，
则A₁（$\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，$\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}$），同理可得B₁（$\frac{4+3{x}_{0}}{3+2{x}_{0}}$，-$\frac{{y}_{0}}{3+2{x}_{0}}$），
则k₁=$\frac{-6{y}_{0}}{2{x}_{0}}$=-3k，
即存在λ=-3，使得k₁=λk恒成立．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．