Question

18．已知函数f（x）=|2x-a|-|x|，a∈R
（1）当a=2时，解关于的不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）≥4-|2x+a|-|x|对?x∈R恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入f（x），通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式否定解集，取并集即可；
（2）根据绝对值的性质，问题转化为$|{x-\frac{a}{2}}|+|{x+\frac{a}{2}}|≥2$恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=2时，|2x-2|-|x|＞1．
当x＜0时，-2x+2+x＞1，∴x＜1，∴x＜0
当0≤x＜1时，-2x+2-x＞1，∴$0≤x＜\frac{1}{3}$；
当x≥1时，2x-2-x＞1，∴x＞3
故所求不等式的解集为$（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{3，+∞}）$…（5分）
（2）由f（x）≥4-|2x+a|-|x|得|2x-a|+|2x+a|≥4恒成立，
即$|{x-\frac{a}{2}}|+|{x+\frac{a}{2}}|≥2$恒成立，∴|a|≥2，
故实数的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）…..（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．