Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过在S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1中分别令n=1、2、3，计算可得结论；
（2）通过（1）猜想a_n=2^n-1，进而利用数学归纳法来证明即可．

解答 解：（1）因为S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1，
所以S₁=（2+1）a₁-（2-1）•2^1-1-1，即a₁=1，
S₂=（4+1）a₂-（4-1）•2^2-1-1=a₁+a₂，解得a₂=2，
S₃=（6+1）a₃-（6-1）•2^3-1-1=a₁+a₂+a₃，解得a₃=4；
（2）由（1）猜想a_n=2^n-1．下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，有a_k=2^k-1成立，
因为S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1，
所以S_k=（2k+1）a_k-（2k-1）•2^k-1-1=2^k-1，
又因为S_k+a_k+1=2^k-1+a_k+1，且S_k+a_k+1=S_k+1=（2k+3）a_k+1-（2k+1）2^k-1，
所以a_k+1=2^k，即当n=k+1时，命题成立；
由①②可知a_n=2^n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．