Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若$cosBcosC-sinBsinC=\frac{1}{2}$，$a=2\sqrt{3}$
（1）求A；
（2）若b=2，求c边长；
（3）若b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．
（3）根据余弦定理，得（2$\sqrt{3}$）²=b²+c²-2bccos $\frac{2π}{3}$，化为12=b²+c²+bc，又b+c=4，解得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）因为cos Bcos C-sin Bsin C=$\frac{1}{2}$，
所以cos（B+C）=$\frac{1}{2}$，
又因为0＜B+C＜π，所以B+C=$\frac{π}{3}$，即A=π-（B+C）=$\frac{2π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：（2$\sqrt{3}$）²=b²+c²-2bccos $\frac{2π}{3}$，所以12=4+c²+2c，
化为：c²+2c-8=0，c＞0，解得c=2．
（3）根据余弦定理，
得（2$\sqrt{3}$）²=b²+c²-2bccos $\frac{2π}{3}$，所以12=b²+c²+bc，
即12=（b+c）²-bc．
又b+c=4，
所以12=4²-bc⇒bc=4．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了和差公式、三角函数的单调性、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．