Question

设f（x）=x-alnx（a∈R），已知y=f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：x₁+x₂随着a的增大而增大．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求导，得出切点坐标，找到函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；
（2）令

x2

x1

=t（t＞1），得到

x2-x1=alnt x2=tx1

，从而x₁+x₂=

alnt(t+1)

t-1

，令m（x）=

alnx(x+1)

x-1

，（x＞1），通过求导得到函数的单调性，从而解决问题．

解答： 解：（1）令f（x）=0，∴lnx=

1

a

x，
画出函数g（x）=lnx，h（x）=

1

a

x的图象，如图示：
，
∵g′（x）=

1

x

=

1

a

，∴切点坐标是（a，lna），
把（a，lna）代入h（x）=

1

a

x，得：a=e，
∴若y=f（x）有两个零点x₁，x₂，
即g（x），h（x）有2个交点，只需a＞e即可；
∴a的范围是（e，+∞）：
（2）∵x₁=alnx₁，x₂=alnx₂，∴x₂-x₁=aln

x2

x1

，
令

x2

x1

=t（t＞1），
则：

x2-x1=alnt x2=tx1

，解得：x₁=

alnt

t-1

，x₂=

atlnt

t-1

，
∴x₁+x₂=

alnt(t+1)

t-1

，
令m（x）=

alnx(x+1)

x-1

，（x＞1），
则m′（x）=

a(x2-2xlnx-1)

x(x-1)2

，
∵a＞e，x（x-1）²＞0，
令n（x）=x²-2xlnx-1，
则n′（x）=2（x-lnx-1）＞0，
∴n（x）在（1，+∞）递增，∴n（x）＞n（1）=0，
∴m′（x）＞0，m（x）在（1，+∞）递增，
∴x₁+x₂随着a的增大而增大．

点评：点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．