Question

设直线l的方程是x+my+2

3

=0，圆O的方程是x²+y²=r² （r＞0）．
（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）只需直线所过的定点在圆内，即可使得m取一切值时，直线与圆都有公共点；
（2）显然定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，直线过圆心时，弦长为直径最大．

解答： 解：（1）直线l过定点（-2

3

，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（-2

3

，0）在圆O内或在圆O上，
所以(-2

3

)2+02≤r2．解得r≥2

3

．
所以r的取值范围是[2

3

，+∞）；
（2）设坐标为（-2

3

，0）的点为点A，则|OA|=2

3

．
则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为l=2

r2-|OA|2

=2

42-(2 3 )2

=4；
当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=8；                       
所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4，8]．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，抓住圆心到直线的距离和半径，以及直线的特征是解题的关键．