Question

在实数集R中定义一种运算“*”，?a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；    
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）
关于函数f（x）=（e^x）*

1

ex

的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为偶函数；
③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]
其中正确说法的序号为（　　）

• A、①
• B、①②
• C、①②③
• D、②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：依题意，可得f（x）=1+e^x+e^-x，
对于①，可由基本不等式1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3判断其正误；
对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；
对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．

解答： 解：∵f（x）=（e^x）*

1

ex

=（e^x）•

1

ex

+（e^x）*0+

1

ex

*0=1+e^x+

1

ex

，
对于①，∵1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3（当且仅当x=0时取“=”），
∴f（x）_min=3，故①正确；
对于②，∵f（x）=1+e^x+

1

ex

=1+e^x+e^-x，
∴f（-x）=1+e^x+e^-x=1+e^x+e^-x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故②正确；
对于③，∵f′（x）=e^x-e^-x=

e2x-1

ex

，
∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，-∞），故③错误；
∴正确说法的序号为①②，
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，得到f（x）=1+e^x+e^-x是关键，考查函数的单调性与奇偶性及最值，属于中档题．