Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+b

在R上为奇函数，f（2）=

2

5

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性并求其值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得

a b =0 2+a 4+b = 2 5

从而解出a，b；代入验证；
（2）由复合函数的单调性判断并由单调性求值域．

解答： 解：（1）由题意，

a b =0 2+a 4+b = 2 5

，解得，a=0，b=1；
经验证，f（x）=

x

x2+1

是R上为奇函数，
故f（x）=

x

x2+1

．
∵f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

在（0，1]上是增函数，
∴f（x）=

x

x2+1

在[-1，1]上是增函数，
则-

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

，
即f（x）的值域为[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查了函数的奇偶性应用及函数的单调性应用与判断．