Question

已知F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆右焦点F₂斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF₁的周长为8，且椭圆C与圆x²+y²=3相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′，求证k•k′为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出4a=8，方程组

x2+y2=3 x2 4 + y2 b2 =1

只有一组解，利用根的判别式求出b2 =3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），设点E（x₁，y₁），点F（x₂，y₂），将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用已知条件推导出直线PF₂的斜率为k′=-

1

k

，从而能够证明k•k′为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵过椭圆右焦点F₂斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，
△EFF₁的周长为8，且椭圆C与圆x²+y²=3相切，
∴4a=8，解得a=2，
∴方程组

x2+y2=3 x2 4 + y2 b2 =1

只有一组解，即方程（b²-4）x²+12-4b²=0只有一个实数根，
∴△=0-4（b²-4）（12-4b²）=0，
解得b2 =3或b²=4（舍），
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），
设点E（x₁，y₁），点F（x₂，y₂）…5分
将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…6分
∵点F₂在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，
且x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，…7分
直线AE的方程为：y=

y1

x1-2

(x-2)，直线AF的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得点M（4，2

y1

x1-2

），N（4，

y2

x2-2

2），
∴点P的坐标（4，（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）），…9分
直线PF₂的斜率为k′=

( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

4-1

=

1

3

（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）
=

1

3

•

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

3

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

，…11分
将x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式得：
k′=

1

3

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3 +4

=-

1

k

，
∴k•k′ =-1，，∴k•k′为定值．

点评：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．